数列极限专题：夹逼定理与单调有界原理求数列极限实例分析
夹逼准则与单调有界原理是直接判定数列极限是否存在与计算极限的基本方法，它们包含的内容非常简单：
定理：(夹逼定理) 设数列, 收敛到相同极限值 ，且存在正整数，当时，有，则数列也收敛，并且极限值也等于.
定理：(单调有界原理)
设数列在某项之后单调增加且有上界，则数列存在极限．
设数列单调减少且有下界，则数列存在极限．
例1 判定数列的极限是否存在，如果存在求其极限值，其中
【分析一】(夹逼定理)：将分子(设)中的前项适当放大，有估计
所以可知在时，有
所以由夹逼定理，令时，可知它的极限不仅存在，而且极限值就为1.
【分析二】(单调有界原理)：比较前后项的大小，于是有
当时，分母的每一项都大于分子对应的项，因此数列在后单调递减. 由于，所以有下界，从而由单调有界原理判定它收敛.
借助单调有界原理判断极限存在并求极限的一般思路，通常适用的问题是递推数列的问题，也就是数列的前后项的关系式，那么这个数列能不能得到这样的关系式呢？改写通项表达式，可得
由于数列的极限存在，所以可以在两端取极限，可得极限值为1.
【注】不管是夹逼定理，还是单调有界原理，一般从数列本身出发进行放缩是最简单的办法！
例2 (夹逼定理) 设，求极限
【分析】 如果 ，则有
否则，假设，则
所以由第一步结论及夹逼定理，可知极限为. 如果，则极限为. 综上可得
例3 (单调有界原理) 证明数列收敛，其中
【分析】 比较前后两项的差，有
所以数列单调递增，并且由于
所以数列单调递增有上界，即数列收敛.
例4 (单调有界原理) 设且有, ，如果
证明数列, 收敛，并且收敛于同一极限值.
【分析】 由于，由数列, 的递推公式和几何-算术平均值不等式，有
从而由数学归纳法可得
于是可知数列单调递减有下界，单调递增有上界，所以两个数列都存在极限.
设数列的极限值为，的极限值为，并对两个递推公式分别求极限，有
推荐阅读：
微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)大学数学公共基础课程分享交流平台！支持咱号请点赞分享！
↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容